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　　△l=l(ap △tp –as△ts )　　 (公式1)
　　式中 l——被測(cè)尺寸(mm)；
　　ap 、as——被測(cè)件及標(biāo)尺的線膨脹系數(shù)（1/℃）；
　　△tp 、△ts——被測(cè)件及標(biāo)尺相對(duì)于20℃的溫度偏差（℃）
　　這一誤差稱為名義線膨脹值誤差。 

　　從（公式1）中可以看到，當(dāng)ap= as ，△tp=△ts時(shí)，△l=0。即當(dāng)標(biāo)尺與被測(cè)件的線膨脹系數(shù)和溫度都相等時(shí)，沒(méi)有熱變形誤差。

　　若被測(cè)件與標(biāo)尺的線膨脹系數(shù)都相同，ap =as =a ，則△l=la（△tp –△ts ）�。ü�式2）
　　此時(shí)，熱變形誤差主要由被測(cè)件與標(biāo)尺溫度不同而引起。

　　若被測(cè)件與標(biāo)尺的溫度相同，△tp=△ts =△t，而線膨脹系數(shù)不同，則熱變形誤差△l=l△t(ap –as )　　　（公式3）

　　上式表明，若ap≠ as ，只要溫度偏離20℃，即使它們溫度相等，也會(huì)產(chǎn)生測(cè)量誤差。

　　從（公式1）還可以看到，△l只與標(biāo)尺的溫度和線膨脹系數(shù)有關(guān)，而與機(jī)器框架的溫度和線膨脹系數(shù)無(wú)關(guān)。這一結(jié)論在機(jī)器框架只有簡(jiǎn)單變形，且只在一個(gè)點(diǎn)上與標(biāo)尺連接時(shí)成立。若標(biāo)尺在兩端同時(shí)與機(jī)器框架固結(jié)，那么（公式1）中的as同時(shí)受框架與標(biāo)尺材料線膨脹系數(shù)的影響。

　　二、測(cè)量機(jī)的復(fù)雜熱力變形誤差

　　當(dāng)測(cè)量機(jī)存在溫度梯度，或者測(cè)量機(jī)各部分線膨脹系數(shù)不一樣時(shí)，都會(huì)產(chǎn)生復(fù)雜變形。即除了均勻伸長(zhǎng)或收縮外，還有彎曲或扭曲變形。復(fù)雜熱變形帶來(lái)的影響很復(fù)雜。在這方面，它與由于幾何誤差而產(chǎn)生的角運(yùn)動(dòng)誤差相似，這是就它對(duì)下一個(gè)部件的影響而言。但就框架本身來(lái)說(shuō)，它不是整體作角運(yùn)動(dòng)，而是各個(gè)部分還有相對(duì)變形。

　　熱變形不一定伴隨著熱應(yīng)力。不僅簡(jiǎn)單變形如此，復(fù)雜變形也是如此。只要沒(méi)有另一物體約束它，便不會(huì)產(chǎn)生熱應(yīng)力。當(dāng)一個(gè)物體的熱變形受到另一物體約束，就會(huì)產(chǎn)生熱應(yīng)力，這種熱應(yīng)力往往會(huì)導(dǎo)致復(fù)雜熱變形。例如一個(gè)兩端固結(jié)的桿受熱伸長(zhǎng)時(shí)，由于兩端受約束，就可能產(chǎn)生彎曲。但只有當(dāng)約束它的物體與受約束的物體線膨脹量不一樣時(shí)即或者兩者溫度不同，或者兩者線膨脹系數(shù)不同，才會(huì)產(chǎn)生這種熱應(yīng)力或復(fù)雜熱變形。因此，產(chǎn)生復(fù)雜熱變形的原因仍可歸納為：或是存在溫度梯度，或是各個(gè)部分的線膨脹系數(shù)不同

　　由于復(fù)雜熱變形帶來(lái)的誤差比較復(fù)雜，也難以精確計(jì)算、補(bǔ)償，在測(cè)量機(jī)的設(shè)計(jì)和運(yùn)行中應(yīng)盡量避免復(fù)雜熱變形。

　　在現(xiàn)代測(cè)量機(jī)中，由于結(jié)構(gòu)性能方面的需要，常采用花崗石、合成材料、玻璃、鋁等多種材料，這是導(dǎo)致復(fù)雜熱變形的一個(gè)因素。SIP公司則堅(jiān)持在他們生產(chǎn)的三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)中，主要構(gòu)件都采用鐵金屬。此外，不同材料構(gòu)件之間的連接，只要允許，盡可能只在一點(diǎn)連接，不使對(duì)熱變形形成約束。

　　溫度梯度是產(chǎn)生復(fù)雜熱變形的主要原因。在測(cè)量機(jī)工作中有許多內(nèi)部熱源與外部熱源。為了保持測(cè)量機(jī)溫度恒定，需要用適當(dāng)?shù)姆绞綄�熱量移走，這就形成了一個(gè)熱傳播途徑。兩點(diǎn)之間的傳熱量與它們之間的溫差成正比，與它們之間的熱阻成反比。為了減小測(cè)量機(jī)內(nèi)的溫度梯度，一是要盡量減小各種熱源產(chǎn)生的熱量，特別是輻射到測(cè)量機(jī)上的熱量；另一方面要減小測(cè)量機(jī)內(nèi)部的熱阻。

　　精密測(cè)量室不應(yīng)有陽(yáng)光照射，照明燈應(yīng)遠(yuǎn)離測(cè)量機(jī)，調(diào)溫送風(fēng)也不應(yīng)直接對(duì)著測(cè)量機(jī)。對(duì)于高精度測(cè)量機(jī)，除了整個(gè)測(cè)量室的恒溫外，還常用一個(gè)隔溫罩使它與外界隔離開(kāi)來(lái)。人體也是一個(gè)重要熱源。精密測(cè)量，不允許人體直接接近測(cè)量機(jī)，人在隔溫罩外，通過(guò)計(jì)算機(jī)控制實(shí)施操作。被測(cè)件也可能是一個(gè)熱源。被測(cè)件送入后，應(yīng)在測(cè)量室內(nèi)、隔溫罩外放置一段時(shí)間，使它的溫度接近20℃，再移入罩內(nèi)測(cè)量機(jī)上，均溫一段時(shí)間后測(cè)量。

　　對(duì)測(cè)量機(jī)內(nèi)部熱源也應(yīng)予以重視。摩擦是一個(gè)重要熱源，精密測(cè)量機(jī)要盡可能避免或減小摩擦。測(cè)量光路的光源，應(yīng)采用低熱型的，在可能情況下，應(yīng)將光源（如激光器）放置在隔溫罩外部，光束通過(guò)棱鏡或光纖引入。對(duì)于電氣部分也一樣，一些大功率器件應(yīng)盡量放在罩外。

　　為了減小溫度梯度，希望測(cè)量機(jī)構(gòu)件導(dǎo)熱性能要好。近年來(lái)國(guó)際上出現(xiàn)用鋁制作測(cè)量機(jī)構(gòu)件的趨勢(shì)。雖然鋁的線膨脹系數(shù)較大，但它的導(dǎo)熱系數(shù)大，容易做到溫度均勻。簡(jiǎn)單的熱變形比較容易補(bǔ)償。

　　德國(guó)蔡司（Zeiss）公司還發(fā)展了一種稱為CARAT的技術(shù)，即帶涂層、抗時(shí)效的鋁合金技術(shù)。它是在無(wú)時(shí)效的鋁合金基體上涂覆一層具有高耐磨性能的陶瓷，利用它制作測(cè)量機(jī)的橫梁與主軸。它既有所需的耐磨性能，又有高的熱傳導(dǎo)特性，使溫度梯度及由它引起的彎曲變形減小。

　　在物體受熱后，同樣的熱量引起的物體溫度變化還與它的熱容量有關(guān)。熱容量越大，溫度變化越慢。由于結(jié)構(gòu)上的需要，如果測(cè)量機(jī)橋體的兩根梁一根是實(shí)心，另一根是空心，那么在外界溫度作同樣的變化時(shí)，一般地說(shuō)（當(dāng)外界對(duì)這兩根梁的熱傳遞情況相同時(shí)），空心梁的溫度變化較快。這也是形成溫度梯度的原因之一。為了減小熱誤差，測(cè)量機(jī)的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)應(yīng)盡可能對(duì)稱。